CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải phương trình bậc ba.
Xét phương trình bậc ba dạng tổng quát bao giờ cũng đưa về được phương trình bậc ba dạng chính tắc bằng cách chia hai vế của cho để được và đặt thì ta sẽ thu được .
Xét biểu thức .
a) Nếu thì phương trình có duy nhất một nghiệm thực
b) Nếu thì phương trình sẽ có ba nghiệm thực. Trong trường hợp này phương trình giải được bằng phép thế lượng giác. Xem tại đây.
2. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt.
a) Phương trình trùng phương : .
Bằng cách đặt ta được phương trình bậc hai
b) Phương trình dạng .
Bằng cách đặt ta thu được phương trình trùng phương theo ẩn .
c) Phương trình dạng với .
Đưa phương trình về dạng và đặt thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn .
d) Phương trình dạng với .
Đưa phương trình về dạng
Bằng cách chia hai vế cho và đặt ta thu được phương trình bậc hai theo
e) Phương trình đối xứng bậc bốn, phương trình hệ số phản hồi.
Xét phương trình bậc bốn với .
Phương trình trên được gọi là phương trình hệ số phản hồi nếu .
Khi đó bằng cách chia hai vế cho và đặt ẩn phụ thì ta được phương trình bậc hai theo ẩn
Trường hợp đặc biệt khi thì phương trình được gọi là phương trình đối xứng và khi thì phương trình được gọi là phương trình nửa đối xứng.
3. Phương pháp sử dụng một số hằng đẳng thức.
Ví dụ : Giải phương trình
Lời giải :
Đặt thì .
Để ý hằng đẳng thức
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
4. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ : Giải phương trình
Lời giải :
Điều kiện .
Đặt thì
Từ đó ta có hệ phương trình
Đặt ta được
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
5. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác)
Xem tại đây
6. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ : Giải phương trình
Lời giải :
Đặt
Cộng vế theo vế hai phương trình này :
Xét hàm số , dễ thấy hàm này đồng biến trên nên
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
7. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.
Ví dụ : Giải phương trình
Lời giải :
Điều kiện .
Áp dụng BĐT ta có
Đẳng thức xảy ra khi
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
8. Phương pháp dùng lượng liên hợp.
Phương pháp này dùng được cho những phương trình chứa căn thức và khi biết trước nghiệm của phương trình.
Một số hằng đẳng thức dùng để trục căn thức :
Ví dụ : Giải phương trình
Lời giải :
Nhẩm được nghiệm của phương trình là nên ta dùng lượng liên hợp tạo nhân tử .
Phương trình tương đương :
Mà dễ thấy rằng
Nên .
Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
Lưu Việt An là một tác giả và chuyên gia tư vấn giáo dục với hơn 10 năm kinh nghiệm trong lĩnh vực tư vấn tuyển sinh đại học và sau đại học. Ông đã tốt nghiệp Cử nhân Kinh tế tại Đại học Kinh tế Quốc dân và hiện là cố vấn chính cho một trung tâm tư vấn giáo dục hàng đầu tại Hà Nội. Lưu Việt An được biết đến như là người có đóng góp lớn vào việc giúp hàng nghìn học sinh và phụ huynh tìm ra con đường học tập phù hợp và thành công. Đọc tiếp!